Question

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设，求函数在区间上的最大值；

（3）证明：对，不等式恒成立.

Answer

（1）在上单调递增， 上单调递减；（2）见解析;（3）见解析.

【解析】试题分析：

(1)对函数求导，由可得在上单调递增， 上单调递减；

(2)分类讨论：

①当时， ；

②当时， ；

③当时， ；

(3) 由（1）知 ，

取得

据此可得： .

试题解析：

（1）由解得，

∴在上单调递增， 上单调递减；

（2）①当即时，函数在区间上单调递增，

∴；

②当即时，函数在区间上单调递增， 上单调递减，

∴；

③当时，函数在区间上单调递减，

∴；

（3）由（1）知即当且仅当时等号成立

取得

∴.

即，

∴

点睛： 第一步：利用导数求得单调区间；

第二步：分类讨论求得函数的最大值；

第三步：取，判断其单调性；

第四步：将问题再转化为原问题从而得到欲证明的不等式．