Question

如图，已知点是椭圆的两个焦点，椭圆过点，点P是椭圆上异于的任意一点，直线与椭圆的交点分别为A,B和C,D，设直线AB，CD的斜率分别为.

（1）求证： 为定值；

（2）求的最大值.

Answer

（1）见解析;（2）.

【解析】试题分析：

(1)由题意求得,则为定值；

(2)联立直线与椭圆的方程可得，

∴弦AB的长度， 同理， ， ∴ ，注意等号成立的条件.

试题解析：

（1）点是椭圆的两个焦点，所以，将坐标代入得

设点，则，整理得

且直线AB，CD的斜率分别为

∴

（2）直线的方程可表示为： ，联立得

消去y得，设，

由韦达定理可知，

∴弦AB的长度，

同理，将上式中的k换为并整理求得，

∴

当且仅当时等号成立故的最大值为.

点睛：对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值．