Question

已知，设函数.

（1）当时，求的极值点；

（2）讨论在区间上的单调性；

（3）对任意恒成立时， 的最大值为1，求的取值范围.

Answer

（1）是的极小值点，无极大值点;（2）见解析;（3）.

【解析】【试题分析】（１）先求导数，再解方程求导函数的零点；（２）运用导数与函数的单调性之间的关系分析探求；（３）先将不等式进行等价转化，再分离参数，构造函数运用导数知识求解：

（1）当时， ，∴，令，则，当时， ；当时， ，所以是的极小值点，无极大值点.

（2），

①当时， 在， 上单调递增；在上单调递减，

②当时， 在上单调递增.

③当时， 在， 上单调递增；在上单调递减

④当时， 在上单调递增，在上单调递减.

（3）∵， 。由得

对任意恒成立，即

对任意恒成立.

令， ，根据题意，可以知道的最大值为1，则 恒成立.

由于，则.

当时， ，令，则，令，得，则在上单调递减，在上单调递增，则，∴在上单调递增.

从而，满足条件，故的取值范围是.

点睛：本题设置的问题旨在考查导数在研究函数的单调性＼极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，先求导数，再解方程求导函数的零点即函数的极值点；求解第二问时，运用导数与函数的单调性之间的关系求出其单调区间从而使得问题获解；解答第三问时，先将题设中的不等式进行等价转化，再分离参数，构造函数令运用导数知识分析求解从而使得问题巧妙获解。