Question

已知函数.

（1）求的单调区间和极值；

（2）若对任意恒成立，求实数的最大值.

Answer

（1）在处取得极小值，极小值为.（2）4

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，根据导函数零点分区间讨论导函数符号变化规律，进而确定单调区间及极值，（2）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值问题： 的最小值，然后利用导数研究函数单调性，确定最小值，，即得，即的最大值是.

试题解析：（1），

，

∴的单调增区间是，单调减区间是.

∴在处取得极小值，极小值为.

（2）由变形，得恒成立，

令， ，

由.

所以， 在上是减函数，在上是增函数.

所以， ，即，所以的最大值是.

点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.