Question

如图， 是边长为的正方形， 平面， 平面， .

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求三棱锥的体积.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）先证明，结合，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结论；（Ⅱ）先根据勾股定理求底面三角形的三边的长，进而根据其特性求底面三角形的面积，再根据棱锥的体积公式求解即可.

试题解析：（Ⅰ）证明：连接，

因为是正方形，所以.

因为平面， 平面，

所以.

因为，所以平面.

因为平面， 平面，所以.

所以， ， ， 四点共面.

因为平面，所以.

（Ⅱ）设，连接， .

由（Ⅰ）知， 平面，

所以平面.

因为平面将三棱锥分为两个三棱锥和，

所以.

因为正方形的边长为， ，

所以， .

取的中点，连接，则 .

所以等腰三角形的面积为 .

所以

.

所以三棱锥的体积为.