Question

某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：

（Ⅰ）在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；

（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅲ）现从身高在这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差为80；（Ⅲ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据古典概型概率公式求各组概率，从而得各组纵坐标，进而做出直方图；（Ⅱ）各组中点值与对应概率相乘，再求和即可得结果；（Ⅲ）列举出从这 名学生中随机抽取 名学生的所有情况有 种，其中至少抽到 名女生的情况有 种，根据古典概型概率公式可求解.

试题解析：（Ⅰ）这50名学生身高的频率分布直方图如下图所示：

（Ⅱ）由题意可估计这50名学生的平均身高为

.

所以估计这50名学生身高的方差为

.

所以估计这50名学生身高的方差为80.

（Ⅱ）记身高在的4名男生为， ， ， ，2名女生为， .

从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有： ， ， ， ， ,,,,,,,,

,,,,,,,共20个基本事件.

其中至少抽到1名女生的情况有： ,,,,,

,,,,,,,,

,,共16个基本事件.

所以至少抽到1名女生的概率为（Ⅰ）这50名学生身高的频率分布直方图如下图所示：

（Ⅱ）由题意可估计这50名学生的平均身高为

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所以估计这50名学生身高的方差为

.

所以估计这50名学生身高的方差为80.

（Ⅲ）记身高在的4名男生为， ， ， ，2名女生为， .

从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有： ， ， ， ， ,,,,,,,,

,,,,,,,共20个基本事件.

其中至少抽到1名女生的情况有： ,,,,,

,,,,,,,,

,,共16个基本事件.

所以至少抽到1名女生的概率为.

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