Question

已知， ， .

（1）求的单调区间；

（2）若对任意的，总存在，使，求实数的取值范围.

Answer

（1）单调递增区间为，单调递减区间为.（2）

【解析】试题分析：（1）利用函数的导数求函数单调区间，注意对参数分类讨论；（2）分析题意， 的值域包含于的值域， 的值域为， 的值域需要通过对的分类讨论求得，结合（1）及区间对分类即可．

试题解析：（1）∵（），

当时， 时， ， 时， ，

∴单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）设在区间上的值域为，在上的值域为，

则依题意．

易知在上递增，在上递减， ， ，

∴．

①当时， 在上单调递增， ， ， ，

∴，得，∴，

②当时， 在上单调递减， ，

得，∴．

③当时， 在上单调递增，可得．

④当时， 在上，

， ，这时，

综上，实数的取值范围为．