Question

已知数列的前项和为，且

（1）试求出，并猜想的表达式；

（2）证明你的猜想，并求出的表达式。

Answer

（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）先根据数列的前项的和求得，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出；（2）利用数学归纳法证明猜想成立，由可直接求出的表达式.

试题解析：（1）【解析】

`猜想

证明：（1）当时， 等式成立。

假设当时，等式成立，即。当时，

，∴

时，等式也成立。

综上1）2）知，对于任意， 都成立。

又

点睛：本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式是高考中常考的题型，涉及数列的通项公式，求和问题，归纳推理与数学归纳法证明等式等问题；数学归纳法的注意事项：①明确初始值并验证真假； ②“假设时命题正确”并写出命题形式；③分析“时”命题是什么，并找出与“”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.