Question

已知函数．

（1）当， 取一切非负实数时，若，求的范围；

（2）若函数存在极大值，求的最小值．

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）当时， ，原题分离参数得恒成立，右边求导求出其最大值即可；（2）对其求导，当时， 在上为单增函数，无极大值；当时， 在上为增函数，在上为减函数，其中满足，故可得极大值，令，得，对其求导可得其最小值.

试题解析：（1）当时， ， 恒成立等价于恒成立，令， ， ，当时， 恒成立，即在内单调递减，故，可得在内单调递减，故.

（2），

①当时， ，所以，所以在上为单增函数，无极大值；

②当时，设方程的根为，则有，即，所以在上为增函数，在上为减函数，所以的极大值为，即，因为，所以，令则，

设，则，令，得，所以在上为减函数，在上为增函数，所以得最小值为，即的最小值为-1，此时．

点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增， 得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.