Question

如图，设抛物线的准线与轴交于椭圆的右焦点为的左焦点.椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点， 为上一动点，且在之间移动.

（1）当取最小值时，求和的方程；

（2）若的边长恰好是三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线的方程．

Answer

（1）（2）的面积最大值为．此时．

【解析】试题分析：（1）由椭圆的性质可得，故可得，故而可求得和的方程；（2）因为，则，设椭圆的标准方程为，联立抛物线与椭圆的方程可得，得代入抛物线方程得，可得，可得直线与抛物线的方程，联立得，求出点到直线的距离，结合面积公式可得最值.

试题解析：（1）因为，则，所以取最小值时，

此时抛物线，此时，所以椭圆的方程为；

（2）因为，则，设椭圆的标准方程为，

由得，所以或（舍去），代入抛物线方程得，即，

于是，又的边长恰好是三个连续的自然数，所以．此时抛物线方程为， ，则直线的方程为．联立，得或（舍去），于是．所以，

设到直线的距离为，则，当时， ，所以的面积最大值为．此时．