Question

如图三棱柱中，侧面为菱形， ．

（1）证明： ；

（2）若， ，求二面角的余弦值．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）连接，交于点，连接，可证平面，可得， ，进而可得；（2）以为坐标原点， 的方向为轴正方向， 为单位长，建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值.

试题解析：（1）连接，交于点，连接，因为侧面为菱形，所以，且为及的中点，又，所以平面．由于平面，故，又，故 ．

（2）因为，且为的中点，所以．

又因为，所以，故，从而两两相互垂直， 为坐标原点， 的方向为轴正方向， 为单位长，建立空间直角坐标系（图略）

因为，所以为等边三角形，又，则， ． ， ，设是平面的法向量，则

，即，设是平面的法向量，则，同理可取．

所以可取， ，

所以二面角的余弦值为．