Question

已知函数， （， 为自然对数的底数），且在点处的切线方程为.

（1）求实数， 的值；

（2）求证： .

Answer

（I）， ；（II）详见解析.

【解析】试题分析：（1）依据题设条件借助导数的几何意义建立方程组，通过解方程组使得问题获解；（2）先将不等式进行等价转化，再构造函数运用导数知识分析推证：

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）∵，

∴，且，

又在点处的切线方程为，

∴切点为，

∴

∴， ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，且的定义域为，

令，

则，

令，显然在为减函数，且， ，

∴，使得，即，

当时， ，∴，∴为增函数；

当时， ，∴，∴为减函数．

∴ ，

又∵，∴， ，

∴，即，

∴．

点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设立了两个问题，旨在考查导数的几何意义及导数在研究函数的单调性、最值（极值）等方面的综合运用。求解第一问时，依据题设条件借助导数的几何意义建立方程组

，通过解方程组使得问题获解；求解第二问时，先将不等式进行等价转化，再构造函数令，然后运用导数知识进行分析推证。