Question

已知动点到定直线的距离比到定点的距离大.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线交轨迹于， 两点，直线， 分别交直线于点， ，证明以为直径的圆被轴截得的弦长为定值，并求出此定值.

Answer

（I）；（II）详见解析.

【解析】试题分析：（1）依据题设条件及两点间距离公式建立方程分析求解；（2）依据题设条件建立直线， 的方程，再运用坐标之间的关系分析探求：

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）设点的坐标为，因为定点在定直线： 的右侧，

且动点到定直线： 的距离比到定点的距离大，

所以且，

化简得，即，

轨迹的方程为．

（Ⅱ）设， （），则， ，

∵， ， 三点共线，

∴，

∴，

又，∴，

直线的方程为，令，得．

同理可得．

所以以为直径的圆的方程为，

即．

将代入上式，可得，

令，即或，

故以为直径的圆被轴截得的弦长为定值4．

点睛：解析几何是高中数学中重要的知识与内容，也是高考重点考查的重要考点与热点。这类问题的设置旨在考查借助直角坐标的关系求解几何图形问题。求解第一问时充分依据题设条件，运用两点间距离公式建立等量关系，通过化简使得问题获解；解答第二问时，先设， ，在借助题设中的条件建立以为直径的圆的方程为，探究其最值关系，从而使得问题获解。