Question

已知点，点在轴上，动点满足，且直线与轴交于点， 是线段的中点.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若点是曲线的焦点，过的两条直线， 关于轴对称，且交曲线于、两点， 交曲线于、两点， 、在第一象限，若四边形的面积等于，求直线， 的方程.

Answer

（1）；（2）直线， 的方程分别为， .

【解析】试题分析：（1）设， ， ， ， ，利用求动点的轨迹的方程；

（2）直线，与曲线联立，得，结合韦达定理，即可表示四边形的面积，求出，即可求直线， 的方程.

试题解析：

（1）设， ， ，

， ，∵，∴，即，

又，∴，代入，得.

（2）由（1）知，设直线，则，

得， ， ，

依题意可知，四边形是等腰梯形，

∴，

由，

即，∴，∴，∴.

∴直线， 的方程分别为， .

点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．