Question

已知矩形中， ， 分别是上两动点，且，把四边形沿折起，使平面平面，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为                                                               （     ）

A.     B.     C.     D.

Answer

D

【解析】

画出折得的几何体（直三棱柱）如图所示，设，则，由题设底面面积，因为高为4（定值），所以只要求出的最大值时，折得的几何体的体积最大。令，则，求导可得，故当时，即时，几何体的体积最大，此时底面外接圆的半径为；设外接球的球心为，则点到底面的距离，所以球的半径，则外接球的体积，应选答案D。

点睛：解答本题时，先依据题设搞清几何体的形状是棱柱，再运用柱体的体积公式建立几何体的体积的目标函数，通过求其最大值确定柱体的底面边长即外接圆的半径，进而借助球心距、球半径即截面圆的半径之间的关系求出球的半径，从而使得问题获解。