Question

已知函数， .

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）若时，有恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）在上单调增，在上单调增；（2）.

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件，运用导数与函数的单调性之间的关系求解；（2）依据题设条件，先构造函数将不等式进行等价转化，再借助导数工具，对参数的取值范围分类探求其最值：

（Ⅰ），

或

所以在上单调增，在上单调增

（Ⅱ）

时恒成立，

则在上单调递增，则 ，

 时，

时，即，所以在单调递增， 恒成立

 ，存在，

，所以时， ，即， 在上单调减舍.

时， ，存在，使，

，所以，又在上增，在上减，所以时

有最小值，所以即，所以在单调递增， 恒成立.

综上： .

点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，精心设置了两个运用导数工具的解答题，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的灵活运用。求解第一问题时，先对函数解析式求导，再依据题设条件及导数与函数单调性之间的关系求解；（2）依据题设条件，先将不等式等价转化为，再借助求导法则对求导，然后分类分析该函数取得最小值时的参数的取值范围，从而使得问题获解。