Question

在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度， 为答对该题的人数， 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：

题号	1	2	3	4	5
考前预估难度	0.9	0.8	0.7	0.6	0.4

测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：

学生编号           题号	1	2	3	4	5
1	×	√	√	√	√
2	√	√	√	√	×
3	√	√	√	√	×
4	√	√	√	×	×
5	√	√	√	√	√
6	√	×	×	√	×
7	×	√	√	√	×
8	√	×	×	×	×
9	√	√	×	×	×
10	√	√	√	√	×

（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；

题号	1	2	3	4	5
实测答对人数
实测难度

（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；

（Ⅲ）定义统计量，其中为第题的实测难度， 为第题的预估难度．规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据表中数据，估计120人中有人答对第5题．

（Ⅱ）根据古典概型计算得到;

（Ⅲ）根据方差计算公式求解即可.

试题解析：

（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：

题号

1

2

3

4

5

实测答对人数

8

8

7

7

2

实测难度

0.8

0.8

0.7

0.7

0.2

所以，估计120人中有人答对第5题．

（Ⅱ）记编号为的学生为，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．

其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为， ， ， ， ， ，共6种．

所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为．

（Ⅲ）为抽样的10名学生中第题的实测难度，用作为这120名学生第题的实测难度． ．

因为 ，所以，该次测试的难度预估是合理的．