Question

选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系，将曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线的参数方程；

（Ⅱ）过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于、和、，且点在第一象限，当四边形的周长最大时，求直线的普通方程．

Answer

(1) （为参数）．（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得的普通方程，由此可求得的参数方程；（Ⅱ）设四边形的周长为，点，然后得到与的关系式，从而利用辅助角公式求得点的直角坐标点，从而求得的普通方程．

试题解析：（Ⅰ） ， （为参数）．

（Ⅱ）设四边形的周长为，设点，

，

且， ，

所以，当（）时， 取最大值，

此时，

所以， ， ，

此时， ， 的普通方程为．

点睛：将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的 (它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．