Question

已知函数.

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；

（2）讨论方程的实数根的情况.

Answer

（1）（2）当时，方程有两个实数根；当时，方程无实数根.

【解析】试题分析: (1)求出,利用两直线垂直,求出 的值; (2)设 ，利用单调性求出, 分类讨论: ,得出结果.

试题解析:（1）依题意，得，

所以，

又由曲线在点处的切线与直线垂直，可得，

所以，解得；

（2）方程，即.

当时，得，解得，

当时，解得.但是，即，所以时，方程无实数根.

令，则，

故当时， 是单调递增函数；当时， 是单调递减函数，

所以.

当时，由，得.

又，令，则在区间上，故为增函数，所以，即，所以.

，故当时，方程有两个实数根；当时，方程无实数根.

点睛: 本题主要考查了导数的几何意义以及函数零点的个数,属于中档题.

【一题多解】在(2)中,由有,转化为函数与图象交点的个数,当与相切时,切点为,又,所以此时无零点;由图象知,当时图象有两个交点,即有两个零点, ,图象没有交点,无零点,综上讨论,得出结论: 有两个实数根, 无实数根.