设函数. （1）求函数的单调区间；（2）当时，是否存在整数，使不等式恒成立？若...

设函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，是否存在整数，使不等式恒成立？若存在，求整数的值；若不存在，则说明理由；

（3）关于的方程在上恰有两个相异实根，求实数的取值范围.

（1）单调递增区间是，单调递减区间是.（2）（3）【解析】试题分析：（1）求函数的定义域、导函数，由，可求单调区间；（2）由（1）可求函数在上的单调性，进而求最大值、最小值。由不等式恒成立，得，解不等式组可求m的范围；（3）构造函数= ，求其导函数，进而求单调性、最大、最小值，由关于的方程在上恰有两个相异实根，转化为，进而不等式组求实数的取值范围. 试题解析：（1）由得函数的定义域为. . 由，得；由，得. ∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增.∴. 又， ,且， ∴时， . ∵不等式恒成立， ∴，即 . ∵是整数，∴. ∴存在整数，使不等式恒成立. （3）由，得. 令，，则， . 由，得；由得. ∴在上单调递减，在上单调递增. ∵方程在上恰有两个相异实根， ∴函数在和上各有一个零点. ∴ . ∴实数的取值范围是. 【点睛】不等式恒成立问题可转化为函数的最大值、最小值问题。含参数的方程有解问题可转化为参数与最大、最小值有关的不等式组问题。

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考点分析：

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