Question

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若，关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）先求函数的定义域。再求导函数，令导函数大于、小于0，求单调区间。解不等式时讨论与0、1的大小。（2）关于的方程有三个不同的实根，转化为方程有三个不同的实根。若，由（1）可求 的单调区间，进而求其最大、最小值， 大于最小值、小于最大值。

试题解析：（1）函数的定义域是.

.

①当时， 在上恒成立， 在上恒成立，

时， 的增区间为， 的减区间为.

②当时， 在和上恒成立.

在上恒成立.

时， 的增区间为和， 的减区间为.

③当时， 在上恒成立，

时， 的增区间为.

④当时， 在和上恒成立， 在上恒成立，

时， 的增区间为和， 的减区间为.

（2）若，由（1）可得在上当调递增，在上单调递减，在上单调递增.

， ，

的图象与直线有三个交点时的取值范围是.

【点睛】求函数单调区间时，注意函数的定义域，解导函数大于（小于）0的不等式时，若含参数，应注意是否要讨论。方程有解问题可转化为函数的值域。