Question

如图，在四棱锥中，底面为正方形， 底面， ， ， 为棱中点.

（1）求证： 平面；

（2）求四棱锥外接球的体积.

Answer

(I) 见解析;(II) ．

【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证，往往从两个方面进行，一是利用条件中的线面垂直性质定理得到线线垂直，二是利用平几知识，如等腰三角形性质得到线线垂直，(2)求球的体积关键在于确定球心,根据直角三角形的性质可确定外接球球心为线段和线段的垂直平分线交点,再根据勾股定理求半径,最后代入球体积公式即可.

试题解析：(I)证明：∵底面， 底面，

∴，又∵底面为矩形，∴， ， 平面， 平面，

∴平面，又平面，∴， ， 为中点，∴， ， 平面， 平面，∴平面.

(II)法一：四棱锥外接球球心在线段和线段的垂直平分线交点，

由已知，

设为中点，∴，∴，

∴四棱锥外接球是．

法二：四棱锥外接球和过的长方体外接球相同，

球心在对角线的中点

由已知对角线，

∴球的半径为3，

∴四棱锥外接球是．