Question

设函数．

（1）若当时，函数的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；

（2）求证：．

Answer

（Ⅰ）；(Ⅱ)见解析.

【解析】

试题分析：（1）令 ，只要满足对任意 都有 ，对 分情况讨论即可；

（2）对要证明的不等式等价变形，结合（1）中结论即可得证.

试题解析：（Ⅰ）令，则，，

①当时，由于，有，

于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即；

②当时，由于，有，

于是在上单调递减，从而，

因此在上单调递减，即不符；

③当时，令，当时，

，于是在上单调递减，

从而，因此在上单调递减，

即而且仅有不符.

综上可知，所求实数的取值范围是.

(Ⅱ)对要证明的不等式等价变形如下：

对于任意的正整数，不等式恒成立，等价变形

相当于（2）中，的情形，

在上单调递减，即；

取，得：都有成立；

令得证．