Question

已知圆：（）与直线：相切，设点为圆上一动点，轴于，且动点满足，设动点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）直线与直线垂直且与曲线交于，两点，求面积的最大值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用圆与直线相切，且圆的圆心在坐标原点，可以求出圆的方程，假设出点和 点的坐标，利用，可以求出点和点坐标关系，用点坐标表示出点坐标，由于点在圆上，将点坐标代入圆的方程中，可以得出点的轨迹；

（2）由于直线 与直线垂直，可以得出直线的斜率，进而可以假设出直线的方程，联立直线的方程及椭圆的方程，利用韦达定理可以表示出线段 的长，由点到直线的距离可以求出点 到 的距离，进而可以求出 的表达式，利用基本不等式可以求出 面积的最大值.

试题解析：

（1）设动点，因为轴于，所以，

设圆的方程为

由题意得，

所以圆的程为.

由题意, ，所以，

所以，即

将

代入圆,得动点的轨迹方程，

(Ⅱ)由题意设直线l设直线与椭圆交于

，联立方程得，

，解得，

，

又因为点到直线的距离， .

面积的最大值为．

点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．