Question

已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对任意的，均有，求实数的范围.

Answer

（1）见解析; （2）.

【解析】（1），

当时，，由得，所以函数的单调递增区间为；

当时，.

若，由得，所以函数的单调递增区间为；

若，由，所以函数的不存在单调递增区间；

若，由得，所以函数的单调递增区间为；

若，由得或，所以函数的单调递增区间为，.

（2），

令，则，.

，，令，即，下面进行分类讨论：

当时，，单调递增. .

单调递增，，满足条件.

当时，，

①当时，恒成立，即恒大于零，则：

单调递增，.

单调递增，，满足条件.

②当，则时，，即在单调递减，

，在单调递减，，不符题意，故舍去.

综上所述：时，恒成立.