Question

如图，矩形和等边三角形中，，平面平面．

（1）在上找一点，使，并说明理由；

（2）在（1）的条件下，求平面与平面所成锐二面角余弦值．

Answer

（1）证明过程见解析；（2）平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

【解析】

试题分析：(1) 分别取的中点，利用三角形的中位线的性质，即可证明面，进而得到；（2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面法向量成的角去求解.

试题解析：（1）为线段的中点，理由如下：

分别取的中点，连接，

在等边三角形中，，又为矩形的中位线，

，而，

所以面，所以；

（2）由（1）知两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，，三角形为等边三角形，．

于是，

设面的法向量，所以，得，

则面的一个法向量，又是线段的中点，

则的坐标为，于是，且，

又设面的法向量，

由，得，取，则，

平面的一个法向量，

所以，

平面与平面所成锐二面角的余弦值为．