Question

如图，三棱锥中，平面平面，，点在线段上，且，，点在线段上，且平面.

（1）证明：；

（2）证明：平面；

（3）若四棱锥的体积为7，求线段的长.

Answer

（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ）证明过程见解析；（Ⅲ）或.

【解析】

（Ⅰ）证明：//平面.平面，平面平面，

所以根据线面平行的性质可知// ，

（Ⅱ）由可知为等腰中边的中点，故，

又平面平面，平面平面 ,平面 ，，

平面，平面,

又，// 所以平面.

（Ⅲ）设，在直角三角形中，，

，即，

// 知相似于，所以，

由得，

从而四边形的面积为，

由（Ⅱ）可知是四棱锥的高，，

所以，

所以，所以或，

所以或.

考点：线面平行；面面垂直；线面垂直；锥体的体积