Question

如图所示，在三棱锥A－BOC中，OA⊥底面BOC，∠OAB＝∠OAC＝30°，AB＝AC＝4，BC＝，动点D在线段AB上.

（1）求证：平面COD⊥平面AOB；

（2）当OD⊥AB时，求三棱锥C－OBD的体积.

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）欲证平面COD⊥平面AOB，根据面面垂直的判定定理可知在平面COD内一直线与平面AOB垂直，根据勾股定理可知OC⊥OB，根据线面垂直的判定定理可知OC⊥平面AOB，而OC⊂平面COD，满足定理所需条件；（2）OD⊥AB，OD=，此时，BD=1．根据三棱锥的体积公式求出所求即可

试题解析：（1）∵AO⊥底面BOC，

∴AO⊥OC，

AO⊥OB. ……3

∵∠OAB＝∠OAC＝30°，AB＝AC＝4，

∴OC＝OB＝2.

又BC＝2，

∴OC⊥OB， ……6

∴OC⊥平面AOB.

∵OC平面COD，

∴平面COD⊥平面AOB. ……9

（2）∵OD⊥AB，∴BD＝1，OD＝.

∴VC－OBD ＝ ×××1×2＝ ……12

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定