Question

如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，.

（1）证明：平面；

（2）设二面角为，求直线与平面所成角的大小.

Answer

（1）见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）首先利用菱形的性质与线面垂直的性质定理得出，，然后根据∽推出，从而利用线面垂直的判定定理证明即可；另证：以为坐标原点建立直角坐标系，然后求出相关点与向量，再利用向量垂直的充要条件证明，，从而利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）首先求得平面的法向量，然后利用两平面垂直的性质求得的值，最后利用空间夹角公式求得线面角的正弦值，由此求得线面角．

试题解析：（1）解法一：因为底面为菱形，所以，

又底面，所以.

设，连结，

因为，故，

从而，因为，所以∽，，由此知，与平面内两条相交直线都垂直，

所以平面.

解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，其中，则，于是，从而，

故，又，所以平面.

（2），设为平面的法向量，则，

即且，令，则，

设为平面的法向量，则，

即且，令，则，

所以，因为面面，故，即，故，

于是，，，

所以．

因为与平面所成角和互余，故与平面所成角的角为.

考点：1、线面垂直的判定定理；2、二面角；3、直线与平面所成角．