Question

在四边形中，对角线垂直相交于点，且，．将沿折到的位置，使得二面角的大小为（如图）．已知为的中点，点在线段上，且．

（1）证明：直线；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）建立如图直角坐标系，写出直线的方向向量，求出面的法向量，在证明方向向量与法向量垂直即可；（2）由（1）知面的法向量，直线与平面所成角的正弦值即的方向向量与面法向量夹角余弦值的绝对值．

试题解析：由题，故两两垂直，从而可建立如图直角坐标系，则，，，．

（1）由题知，故，又，故，从而，又，故，设平面的法向量为，易得，，由得，取得，因，故直线；

（2）由（1）可知为平面的法向量，又，故．

考点：直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．

【一题多解】（1）如图，取的中点，连接，则，由题知，又，故，因此，因为，且，故，，又，故，从而．

法二：由题，取中点，因，故，，因此，从而，过点作于，连，则，从而，易知，，，故，因此．

法三：由题，，设点到平面的距离为，则由等体积法可得

，故，因此．