Question

记表示中的最大值，如.已知函数.

（1）设，求函数在上零点的个数；

（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）存在，．

【解析】

试题分析：（1）设，对其求导，及最小值，从而得到的解析式，进一步求值域即可；（2）分别对和两种情况进行讨论，得到的解析式，进一步构造，通过求导得到最值，得到满足条件的的范围．

试题解析：（1）设，．．．．．．．．．．．．．1分

令，得递增；令，得递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∴，∴，即，∴．．．．．．．．．．．．．3分

设，结合与在上图象可知，这两个函数的图象在上有两个交点，即在上零点的个数为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（或由方程在上有两根可得）

（2）假设存在实数，使得对恒成立，

则，对恒成立，

即，对恒成立 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

①设，

令，得递增；令，得递减，

∴，

当即时，，∴，∵，∴4．

故当时，对恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

当即时，在上递减，∴．

∵，∴，

故当时，对恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

②若对恒成立，则，∴．．．．．．．．．．．11分

由①及②得，．

故存在实数，使得对恒成立，

且的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

考点：导数应用.

【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题．本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.