Question

在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据已往经验，潜水员下潜的平均速度为（米/单位时间），每单位时间的用氧量为（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为（升）.

（1）求关于的函数关系式；

（2）若，求当下潜速度取什么值时，总用氧量最少.

Answer

（1）；（2）时，总用氧量最少.

【解析】

试题分析：（1）由题意，下潜用时用氧量为，返回水面用时用氧量为，二者求和即可；（2）由（1）知，利用导数研究函数的单调性可得时总用氧量最少.

试题解析：（1）由题意，下潜用时（单位时间），用氧量为（升），

水底作业时的用氧量为（升），

返回水面用时（单位时间），用氧量为（升），

∴总用氧量.

（2），

令得，

在时，，函数单调递减，

在时，，函数单调递增，

∴当时，函数在上递减，在上递增，

∴此时，时总用氧量最少，

当时，在上递增，

∴此时时，总用氧量最少.

考点：1、阅读能力、建模能力及函数的解析式；2、解决实际问题的能力及利用导数求函数的最值.

【方法点睛】本题主要考查阅读能力、建模能力及函数的解析式、解决实际问题的能力及利用导数求函数的最值，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 构建函数模型时一定要考虑变量的实际意义，以确定函数解析式的定义域，以便准确解答.本题的解答关键是将实际问题转化为函数问题求最值.