Question

已知四棱柱的底面是边长为的菱形，且，平面，，设为的中点

（1）求证：平面

（2）点在线段上，且平面，求平面和平面所成锐角的余弦值．

Answer

（1）证明略；（2）

【解析】

试题分析：（1）由已知该四棱柱为直四棱柱，且为等边三角形，，所以平面，故，在中的三边长分别为，所以,所以，故平面；

（2）取中点，则由为等边三角形，知，从而，以为坐标轴，建立空间直角的坐标系，求得平面和平面的法向量，即可求得平面和平面所成锐角的余弦值．

试题解析：（1）证明：由已知该四棱柱为直四棱柱，且为等边三角形，

所以平面，而平面，故

因为的三边长分别为，故为等腰直角三角形

所以，结合知：平面

（2）【解析】
取中点，则由为等边三角形

知，从而

以为坐标轴，建立如图所示的坐标系

此时,

，设

由上面的讨论知平面的法向量为

由于平面，故平面

故，故

设平面的法向量为，

由知，取，故

设平面和平面所成锐角为，则

即平面和平面所成锐角的余弦值为

考点：线面垂直；二面角.