Question

如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分别是AB、PD的中点，∠ADP＝45°.

（1）求证：AF∥平面PCE.

（2）求证：平面PCD⊥平面PCE.

（3）若AD＝2，CD＝3，求点F到平面PCE的距离．

Answer

（1）详见解析（2）详见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）关键是证明AF与平面PEC内的一条直线平行，为此可取PC的中点G，论证AF∥EG；（2）可转化为证明线面垂直；（3）可以充分运用（2）的结论，结合线段比例关系求解点F到平面PCE的距离

试题解析：（1）证明：设M为PC中点，连接ME、MF.

则MF∥ CD，MF= CD，AE∥CD，AE=CD

∴MF∥AE，MF=AE∴四边形AEMF为平行四边形．…………2分

∴AF∥ME，又∵ME⊂平面PCE，AF⊄平面PCE

∴AF∥平面PCE. …………4分

（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，∠PDA＝45°，

∴△PAD为等腰直角三角形，∵PF＝FD，∴AF⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD，

∴平面PAD⊥平面ABCD. …………6分

∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，

CD⊥AD，CD⊂平面ABCD.

∴CD⊥平面PAD，∴AF⊥CD，

又∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.

∵EM∥AF，

∴EM⊥平面PCD.

∵EM⊂平面PCE，

∴平面PCE⊥平面PCD. …………8分

（3）过点F作FG⊥PC，交PC于G，∵平面PCE⊥平面PCD，∴FG⊥平面PCE，即FG为点F到平面PCE的距离．…………10分

在Rt△PCD中，PD＝2，PC＝.

∵△PFG∽△PCD，∴，

∴FG＝.…………12分

考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算