Question

已知：函数f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）（a＞0且a≠1）

（Ⅰ）求f（x）定义域；

（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；

（Ⅲ）求使f（x）＞0的x的解集．

Answer

（Ⅰ）{x|-2＜x＜2}（Ⅱ）奇函数（Ⅲ）当a＞1时，不等式解集为（0，2）；当0＜a＜1时，不等式解集为（-2，0）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）函数定义域需满足对数的真数为正数；（Ⅱ）判断奇偶性需在定义域对称的基础上判断的关系；（Ⅲ）解不等式时对a分情况讨论，利用对数函数的单调性得到关于x的不等式，从而求其解集

试题解析：（Ⅰ）【解析】
∵f（x）=loga（2+x）-loga（2-x）（a＞0且a≠1）

∴，

解得-2＜x＜2，

故所求函数f（x）的定义域为{x|-2＜x＜2}．

（Ⅱ）f（-x）=loga（-x+2）-loga（2+x）=-[loga（x+2）-loga（2-x）]=-f（x），

故f（x）为奇函数．

（Ⅲ）原不等式可化为：loga（2+x）＞loga（2-x）

①当a＞1时，y=logax单调递增，

∴

即0＜x＜2，

②当0＜a＜1时，y=logax单调递减，

∴

即-2＜x＜0，

综上所述：当a＞1时，不等式解集为（0，2）；当0＜a＜1时，不等式解集为（-2，0）

考点：函数定义域，奇偶性，单调性