Question

设函数的定义域为D，如果，使得成立，则称函数为“Ω函数”. 给出下列四个函数：①；②；③；④, 则其中“Ω函数”共有（   ）

A.1个          B.2个         C.3个        D.4个

Answer

C

【解析】

试题分析：若∀x∈D，∃y∈D，使得f（x）=-f（y）成立，即等价为∀x∈D，∃y∈D，使得f（x）+f（y）=0成立．

A．函数的定义域为R，∵y=sinx是奇函数，

∴f（-x）=-f（x），即f（x）+f（-x）=0，∴当y=-x时，等式（x）+f（y）=0成立，∴A为“Ω函数”．

B．∵f（x）=2x＞0，∴，则等式（x）+f（y）=0不成立，∴B不是“Ω函数”．

C．函数的定义域为{x|x≠1}，由（x）+f（y）=0得，即，

∴x+y-2=0，即y=2-x，当x≠1时，y≠1，∴当y=2-x时，等式（x）+f（y）=0成立，∴C为“Ω函数”．

D．函数的定义域为（0，+∞），由（x）+f（y）=0得lnx+lny=ln（xy）=0，即xy=1，即当y= 时，等式（x）+f（y）=0成立，∴D为“Ω函数”．

综上满足条件的函数是A，C，D，共3个

考点：根的存在性及根的个数判断；函数的值