Question

已知函数f（x）=log_a（a＞0，且a≠1）

（1）判断f（x）的奇偶性并证明；  

（2）若对于x∈[2，4]，恒有f（x）＞log_a成立，求m的取值范围．

Answer

（1）奇函数（2）a＞1时，0＜m＜15，0＜a＜1时，m＞16

【解析】

试题分析：（1）判断函数奇偶性首先判断定义域是否对称，在定义域对称的前提下判断与的关系来确定奇偶性；（2）将不等式利用对数函数的单调性化简，转化为真数的大小关系，利用分离参数法将不等式变形，通过求解构造的函数的最值得到m的取值范围

试题解析：（1）因为＞解得x＞1或x＜﹣1，

所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），……………1分

函数f（x）为奇函数，证明如下：

由（I）知函数f（x）的定义域关于原点对称，

又因为f（﹣x）=loga=loga=loga（）﹣1=﹣loga

=﹣f（x）， ………………………………3分

所以函数f（x）为奇函数…………………4分

（2）若对于x∈[2，4]，f（x）＞loga恒成立

即loga＞loga对x∈[2，4]恒成立…………5分

当a＞1时，即＞对x∈[2，4]成立．

则x+1＞，即（x+1）（7﹣x）＞m成立，

设g（x）=（x+1）（7﹣x）=﹣（x﹣3）2+16，

因为x∈[2，4]

所以g（x）∈[15，16]，

则0＜m＜15， ………………………………8分

同理当0＜a＜1时，即＜对x∈[2，4]成立．

则x+1＜，即（x+1）（7﹣x）＜m成立，

设g（x）=（x+1）（7﹣x）=﹣（x﹣3）2+16，

因为x∈[2，4]

所以g（x）∈[15，16]，

则m＞16，………………………………………………11分

综上所述：a＞1时，0＜m＜15，

0＜a＜1时，m＞16 …………………12分．

考点：函数奇偶性单调性，最值及不等式与函数的转化