Question

下列说法：①若 （其中）是偶函数, 则实数；

②既是奇函数又是偶函数；③若，当

时，，则；④已知是定义在上的不恒为零的函数, 且对任意的

都满足, 则是奇函数。其中所有正确命题的序号是          

Answer

①②④

【解析】

试题分析：：①由函数在区间[-1，a]上为偶函数可得：a=1，所以f（x）=x2+（2+b）x+2，

因为函数为偶函数，所以对称轴x＝−＝0，故b=-2，故①正确；

②易知函数的定义域为{−，}，此时f（x）=0，既是奇函数，也是偶函数，故②正确；

③由，可得f（x+4）＝f（x+2+2）＝＝f（x），故函数为周期为4的周期函数，所以f（2015）=f（3），

又f（3）=f（1+2）=，即f（2015）＝，故③错误；

④令x=y=1，可得：f（1）=0，令x=y=-1，得f（1）=-f（-1）-f（-1），故f（-1）=0，

令y=-1可得：f（-x）=xf（-1）-f（x）=-f（x），

故函数为奇函数，所以④正确

考点：命题的真假判断与应用；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质；函数的周期性