Question

已知函数是上的偶函数．

（1）求的值；

（2）解不等式；

（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

Answer

(1)；(2)；(3).

【解析】

试题分析：(1)因为是偶函数,所以对任意的恒成立,代入解析式,等号右边分子和分母同时乘以,可得,移项提取公因式可得,因为等式恒成立,即与取值无关,故,又,；(2)不等式,两边同时乘以可得,换元解关于的一元二次不等式,解得,即；(3),代入解析式得:,因为,所以,又因为在上单调递减,所以,.

试题解析：【解析】
（1）∵为偶函数，

∴恒成立，∴恒成立，

∴，恒成立，即恒成立，

，∵，∴，∴；

（2）由（1）知，

设，则不等式即为，

∴，

所以原不等式解集为；

（3）．

考点：1.函数的奇偶性；2.解不等式；3.恒成立问题.

【方法点晴】本题考查函数的性质与解不等式以及恒成立问题的综合,属中档题目.判断函数为偶函数,即与自变量无关,恒成立,计算时应用了通分与分解因式,化简为因式乘机的形式求得值；恒成立问题首先参变分离,进而构造新函数,转化为函数的最值问题,通过定义域区间的开闭,需注意参数等号的取舍.