Question

已知方向向量的直线过点和椭圆的焦点，且椭圆的中心关于直线的对称点在椭圆的右准线上．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于点，且满足（为原点），求直线的方程．

Answer

（1）；（2）或或．

【解析】

试题分析：（1）直线，过原点垂直的直线方程为，这两个方程联立可知．再由椭圆中心关于直线的对称点在椭圆的右准线上，可知．由此可以求出椭圆的方程；（2）设，直线代入，整理得，再由根与系数的关系和点到直线 的距离求解．

试题解析：（1）直线

过原点垂直的直线方程为

解①②得，

∵椭圆中心关于直线的对称点在椭圆的右准线上，

∴，

∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为，

∴，故椭圆的方程为，③

（2）设，

设直线，代入③，整理得，

∴，

∵，

即，

∴，∴．

，

∴，整理得，

解得，或

故直线的方程为，或，或．

考点：椭圆的应用.