Question

已知是定义在上的奇函数，且，若时，有．

（1）证明在上是增函数；

（2）解不等式；

（3）若对恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）利用单调性的定义，即可证明函数的单调性；（2）利用单调性的定义，列出不等式组，即可求解；（3）因为在是单调递增函数且，所以只要的最大值小于等于即，然后即可求得的范围.

试题解析：（1）利用定义法任取

得

因为即可证明．

（2）根据函数单调性确定即可解得．

（3）因为在是单调递增函数且＝1，

所以只要f（x）的最大值小于等于 即，

然后即可求得t的范围.

考点：函数性质的综合应用．

【方法点晴】本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中涉及到单调性的定义、函数单调性的应用，以及函数的恒成立问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、以及推理与运算能力，本题的解答中根据函数的单调性列出不等式组和把恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，试题有一定的难度，属于难题．