Question

已知实数，函数.

（1）当时，求的最小值；

（2）当时,判断的单调性,并说明理由；

（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.

Answer

（1）；（2）递增，理由见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）研究函数问题，一般先研究函数的性质，如奇偶性，单调性，周期性等等，如本题中函数是偶函数，因此其最小值我们只要在时求得即可；（2）时，可化简为，下面我们只要按照单调性的定义就可证明在上函数是单调递增的，当然在上是递减的；（3）处理此问题，首先通过换元法把问题简化，设，则函数变为，问题变为求实数的范围，使得在区间上，恒有．对于函数，我们知道，它在上递减，在上递增，故我们要讨论它在区间上的最大（小）值，就必须分类讨论，分类标准显然是，，，在时还要讨论最大值在区间的哪个端点取得，也即共分成四类．

试题解析：（1）研究函数问题，一般先研究函数的性质，如奇偶性，单调性，周期性等等，如本题中函数是偶函数，因此其最小值我们只要在时求得即可；

（2）时，可化简为，下面我们只要按照单调性的定义就可证明在上函数是单调递增的，当然在上是递减的；

（3）处理此问题，首先通过换元法把问题简化，设，则函数变为，问题变为求实数的范围，使得在区间上，恒有．对于函数，我们知道，它在上递减，在上递增，故我们要讨论它在区间上的最大（小）值，就必须分类讨论，分类标准显然是，，，在时还要讨论最大值在区间的哪个端点取得，也即共分成四类．

（2）时,

时， 递增； 时，递减；

为偶函数.所以只对时，说明递增.

设，所以，得

所以时， 递增；

（3），，

从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，

恒有.

①当时，在上单调递增，

由得，

从而；

②当时，在上单调递减，在上单调递增，

，

由得，从而；

③当时，在上单调递减，在上单调递增，

，

由得，从而；

④当时，在上单调递减，

由得，从而；

综上，.

考点：函数的性质的综合应用．