Question

已知数列{a_n}是公差为3的等差数列，数列{b_n}是b₁=1的等比数列，且.

（Ⅰ）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

（Ⅱ）令c_n= a_n b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n.

Answer

（1）an=3n-1,bn=,（2）Tn= - （6n+7）31-n .

【解析】

试题解析：（Ⅰ）∵anbn+1+bn+1=nbn.

当n=1时，a1b2+b2=b1.∵b1=1，b2=， ∴a1=2，

又∵{an}是公差为3的等差数列， ∴an=3n-1，

∴. 即 .

即数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列， ∴bn=，

（Ⅱ）cn= an bn=（3n-1）

∴Tn=2×+5×+8×+……+（3n-1） ①

Tn= 2×+5×+8×+……+（3n-1） ②

① - ②：Tn=2 +3×+3×+……+3× -（3n-1）

=2 + 3×-（3n-1）

∴Tn= - （6n+7）31-n .

考点：等差（比）数列通项公式，错位相减法数列求和.

【方法点睛】数列求和常用方法有分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法，其中错位相减法、裂项相消法尤其重要.