Question

设集合满足若，则.

（1）若，则中至少还有几个元素？求出这几个元素.

（2）能否为单元素集合？请说明理由.

（3）若，证明：.

Answer

（1）中至少还有两个元素：和；（2） 不可能是单元素集；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据条件，便可由，得到，又会得到，从而的元素只有三个，写出集合即可；（2）可假设可为单元素集合，根据条件可得到需满足：，容易说明该方程无解，从而得出结论：不存在单元素集合；（3）由集合的定义即可证明.

试题解析：

（1）∵，

∴；

∴；

∴.

因此，中至少还有两个元素：和.

（2）如果为单元素集合，则，整理得，该方程无实数解，故在实数范围内，不可能是单元素集.

（3）证明：，即.

考点：元素与集合关系的判断.

【思路点睛】（1）根据条件，可由，得到，又会得到，从而可得集合的元素（2）可假设可为单元素集合，根据条件可得到关于的方程，该方程无解，从而得出不存在单元素集合；（3）由集合的定义即可证明.本题考查元素与集合的概念，元素与集合的关系，理解单元素集合的概念.属于中档题.