Question

已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点．

（1）求圆的方程；

（2）当时，求直线的方程．

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）设出圆的半径，根据以点为圆的圆心与直线相切，点到直线的距离等于半径，可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；（2）根据半弦长，弦心距,圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线过点,求出直线的斜率，进而得到直线的方程.

试题解析：（1）设圆的半径为，∵圆与直线相切，

∴ ，∴圆的方程为；

（2）当直线与轴垂直时，则直线的方程为，

此时有，即符合题意，

当直线与轴不垂直时，设直线的斜率为，

则直线的方程为，即，

∵是的中点，∴，∴，

又∵，∴，

解方程，得，

∴此时直线的方程为，即，

综上所得，直线的方程为或．

考点：1、直线的点斜式及一般式方程；2、圆的几何性质及圆的标准方程的求法.

【方法点睛】本题主要考查直线的点斜式及一般式方程、圆的几何性质及圆的标准方程的求法，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题（1）是利用方法②解答的.