Question

已知函数.

（1）求的最小值；

（2）若方程有两个根，证明：.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求得定义域为，求导得，所以在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为；（2）若方程有两个根，则，即.要证，需证，令，构造函数，，所以在上单调递增，，即，故.

试题解析：

（1），

所以在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为.

（2）若方程有两个根，

则，即.

要证，需证，即证，

设，则等价于.

令，则，

所以在上单调递增，，即，故.

考点：函数导数与不等式．

【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，求极值和最值，构造函数证明不等式.第一问是一个常见的求导后求单调区间、极值和最值的题目，求解过程注意定义域必须先求出来.第二问是极点偏移问题.先用分析法分析，然后构造函数后，利用导数求得函数是一个增函数，然后根据单调性就可以证明原不等式成立.