Question

为了保护环境，发展低碳经济，某单位在政府部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，新上了把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品的项目.经测算，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳可得到能利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.

（I）当时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；

（II）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

Answer

（I）需补贴；（II）.

【解析】

试题分析：（I）当时，获利是，费用是，两者差是二次函数，用配方法可知该项目不会获利；（II）平均处理成本即，当时，，所以当时，取得最小值. 当时，，当每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.

试题解析：

（I）当时，设该项目获利为，则

所以当时，，因此，该项目不会获利，

当时，取得最大值，

所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损

（2）由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为：

，

① 当时，，

所以当时，取得最小值240. 9分

② 当时，

，

当且仅当，即时，取得最小值200，因为200<400，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.

考点：应用问题、导数与最值．

【方法点晴】在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．