Question

设函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）当时，若函数在区间上存在唯一零点，求的取值范围.

Answer

（I）当时，的单调递增区间为，没有极值，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为；（II）.

【解析】

试题分析：（I）先求导，得，然后对分成两类进行分类讨论，由此求得函数的单调区间和极值；（II）当时，由（I）可知，为函数的最小值点，分成与两类，讨论的取值范围.

试题解析：

（Ⅰ），

（1） 若，则在区间上，

的单调递增区间为，没有极值点.

（2）若，令，即，解得，

故在区间内，单调递减；

在区间内,单调递增；当时， 的单调递减区间为，的单调递增区间为,当时，函数有极小值为.

（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）可知，为函数的最小值点

因为，若函数在区间上上存在唯一零点，

则当零点为函数的极小值点时：

，得.

当零点在极小值点左侧时：，得.

综上所述，函数在区间上上存在唯一零点，

则.

考点：函数导数与极值、最值．