Question

已知直线,半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.

（1）求圆的方程；

（2）过点的任意直线与圆交于两点(在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点,

使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）存在，且坐标为.

【解析】

试题分析：（1）根据题意设圆心为，则圆心到直线的距离等于半径得等式解出即可；（2）假设存在．分两种情况：第一，当直线斜率不存在时较简单；第二，当直线的斜率存在时，若满足题意则．联立直线与圆的方程，利用韦达定理，代入方程即可求出．

试题解析：（1）设圆心,则或(舍). 所以圆.

（2）当直线轴时, 轴平分,当直线的斜率存在时, 设直线的方程为,由得,, 若 轴平分,则,所以当点时, 能使得总成立.

考点：直线与圆的位置关系．

【方法点晴】本题考查直线与圆的位置关系中的相切问题，考查圆的方程的求法，通过阅读题感，知道在已知条件中，圆的半径是给定的，圆心的位置在轴上，也在直线的上方，这样我们就可以设出圆心的坐标，这个坐标只还有一个未知数，利用相切时直线和圆的距离等于半径，就可以求出圆心，进而求出圆的方程.