Question

已知函数为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.

（1）当时，求的单调递减区间；

（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用公式将函数化为，利用函数是奇函数，，且相邻两对称轴间的距离为，即可求出当时，的单调递减区间；（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域．

试题解析：（1）由题意可得：

因为相邻两对称轴间的距离为，所以，，因为函数为奇函数，

所以，因为，所以，函数为.

要使单调减，需满足，

所以函数的减区间为.

（2）由题意可得：，

∵，∴，

∴，即函数的值域为.

考点：（1）函数的图象变换；（2）函数的性质.

【方法点睛】本题主要考查了三角函数的化简及其变换，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解.